Τα είδη των αριθμών

Είναι σημαντικό ξεκινώντας να μιλήσουμε για τις ομάδες των αριθμών. Οι αριθμοί χωρίζονται σε φυσικούς, σε ακέραιους, σε ρητούς και άρρητους αριθμούς.  

Φυσικοί αριθμοί

Οι φυσικοί αριθμοί είναι όλοι θετικοί ακέραιοι από το 1 έως το άπειρο. Ονομάζονται, επίσης, αριθμοί μέτρησης, καθώς χρησιμοποιούνται για την μέτρηση αντικειμένων. Οι φυσικοί αριθμοί δεν περιλαμβάνουν το 0 ή αρνητικούς αριθμούς.

Πιο συγκεκριμένα, χρειαζόμαστε αριθμούς στην καθημερινή μας ζωή, είτε πρόκειται για μέτρηση αντικειμένων, μέτρηση χρόνου κ.ά. Αυτοί οι αριθμοί που μας βοηθούν να μετράμε και να αναπαριστάνουμε μεγέθη ονομάζονται φυσικοί αριθμοί και περιλαμβάνουν τους 1, 2, 3, 4, 5, 6… και συνεχίζονται μέχρι το άπειρο.

Ακέραιοι αριθμοί

Ένας ακέραιος είναι ένας αριθμός χωρίς δεκαδικό ή κλασματικό μέρος και περιλαμβάνει αρνητικούς και θετικούς αριθμούς, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός. 

Μερικά παραδείγματα ακεραίων είναι: -23,-8, 0, 1, 5, 8, 97. Ένα σύνολο ακεραίων αριθμών, το οποίο αναπαρίσταται ως Z, περιλαμβάνει:

• Θετικοί αριθμοί: Ένας αριθμός είναι θετικός, αν είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. Παράδειγμα: 1, 2, 3, . . .
• Αρνητικοί αριθμοί: Ένας αριθμός είναι αρνητικός, εάν είναι μικρότερος από το μηδέν. Παράδειγμα: -1, -2, -3, . . .
• Το μηδέν δεν ορίζεται ούτε ως αρνητικός ούτε ως θετικός αριθμός. Είναι ακέραιος αριθμός.

Το σύνολο των ακεραίων αριθμών μπορούμε να το αναπαραστήσουμε στην παρακάτω αριθμητική γραμμή.

Ρητοί αριθμοί

Η λέξη «ρητός» σχετίζεται με τη γαλλική λέξη «rationnel» που σημαίνει «λογικός». Έτσι, οι ρητοί αριθμοί έχουν σχέση με την έννοια των κλασμάτων, που αντιπροσωπεύουν λόγους. Με άλλα λόγια, εάν ένας αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα, όπου και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ακέραιοι, ο αριθμός είναι ρητός αριθμός. 

Οι ρητοί αριθμοί περιλαμβάνουν φυσικούς αριθμούς, ακέραιους αριθμούς και δεκαδικούς. 

Εάν ένας αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα, όπου και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ακέραιοι, ο αριθμός είναι ρητός αριθμός. 

Μερικά παραδείγματα ρητών αριθμών:

• 23 (που μπορεί να γραφτεί ως 23/1)
• 0 (που μπορεί να γραφεί και 0/1)
• 3/5
• √16 που ισούται με 4
• -2/3
• 0,8 ή 8/10
• -0,1 ή -1/10
• 0,141414… ή 14/99 (επαναλαμβανόμενο μοτίβο μετά την υποδιαστολή)

Άρρητοι αριθμοί

Οι άρρητοι αριθμοί είναι οι πραγματικοί αριθμοί που δεν μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή κλάσματος, p/q όπου p και q είναι ακέραιοι. Ο παρονομαστής q δεν είναι ίσος με μηδέν (q ≠ 0). Επίσης, η δεκαδική επέκταση ενός άρρητου αριθμού δεν τελειώνει, ούτε επαναλαμβάνεται.

Παραδείγματα άρρητων αριθμών

Παρακάτω αναγράφονται κάποιοι παράλογοι αριθμοί, που χρησιμοποιούνται συχνά.

• Το ㄫ(πι) είναι ένας άρρητος αριθμός. π=3,14159265… Η δεκαδική τιμή δεν σταματά ποτέ και δεν επαναλαμβάνεται. Δεδομένου ότι η τιμή του ㄫ είναι πιο κοντά στο κλάσμα 22/7, θεωρούμε την τιμή του π ως 22/7 ή 3,14 (Σημείωση: Το 22/7 είναι ρητός αριθμός.)
• Το √2 είναι ένας άρρητος αριθμός (√2=1,414213⋅⋅⋅⋅) (δεκαδικά που δεν τελειώνουν ούτε επαναλαμβάνονται)
• Ο χρυσός αριθμός φ = 1,61803398874989…. (δεκαδικά που δεν τελειώνουν ούτε επαναλαμβάνονται)

Πώς μπορούμε να αναγνωρίσουμε έναν άρρητο αριθμό;

• Οι αριθμοί που δεν είναι τέλεια τετράγωνα, τέλειοι κύβοι κ.λπ. είναι άρρητοι.

Για παράδειγμα:
Τα √2, √3, √26, κ.ά. είναι άρρητοι. Αλλά √25 (= 5), √0,04 (=0,2 = 2/10) κ.λπ. είναι ρητοί αριθμοί.

• Οι αριθμοί, των οποίων η δεκαδική τιμή είναι μη τερματική και μη επαναλαμβανόμενα μοτίβα, είναι άρρητοι.

Για παράδειγμα:
√2 = 1,4142135623730950488016887242097…. είναι άρρητος, αφού δεν έχει κάποιο επαναλαμβανόμενο μοτίβο στο δεκαδικό του μέρος.
Ενώ το 1/7 = 0,14285714285714285714285714285714… είναι ρητός, γιατί επαναλαμβάνονται οι αριθμοί 142857 στο δεκαδικό μέρος του αριθμού. 

Πηγή: MatematiQ